Dérivée logarithmique

Soit \(f\)  une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle \(I\) . On appelle dérivée logarithmique de \(f\)  la fonction notée  \(\mathcal L(f)\)  définie sur \(I\)  par  \(\mathcal L(f)=\dfrac {f'}f\) . Il s'agit en fait de la dérivée de la fonction \(\ln f\) .

1. Soit \(f\)  et \(g\)  deux fonctions strictement positives et dérivables sur \(I\) . Montrer que
    a.  \(\mathcal L(fg)=\mathcal L(f)+\mathcal L(g)\) .
    b. \(\mathcal L\left(\dfrac fg\right)=\mathcal L(f)-\mathcal L(g)\) .

2. Soit \(f\)  la fonction définie sur \(\mathbb R\)  par \(f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)\) . Utiliser la dérivée logarithmique de \(f\)  pour déterminer \(f'\) .

3. Soit \(g\)  la fonction définie sur \(\mathbb R\)  par \(g(x)=\dfrac{x^{4}\left(2x-5\right)^{3}}{\left(x^{2}+3\right)^{2}\text{e}^{6x}}\) . Déterminer la dérivée de la fonction \(g\) .